自然底数e确实是一个神秘数字，这里的e不是一个字母，而是一个数学中的无理常数，约等于2.718281828459。但我总是在想，它到底怎么来的？

说到e，我们会很自然地想起另一个和它很像的常数π。π的含义可以通过下图内接与外切多边形来很形象的理解。

假设圆的直径为1，其外切与内接多边形的周长可以构成π的估计值的取值范围上下限，内接与外切多边形的边越多，取值范围就越窄，只要边数足够多，取值范围上下限就可以越来越逼近圆周率π。

那e呢？首先，我们需要知道e这个自然底数的符号是谁给出了的，给出这个神奇常数符号的是瑞士数学和物理学家Leonhard Euler(莱昂纳德·欧拉)。

Leonhard Euler (1707-1783)

但实际上，第一个发现这个常数的并而欧拉本人，而是雅可比·伯努利（Jakob Bernoulli）。要了解e的由来，就要谈到一个经济学名称“复利(Compound Interest)”，用俗话说就是所谓的“利滚利”。在引入“复利模型”之前，我们先看看最最基本的 “指数增长模型”。

我们知道大部分细菌是通过二分裂进行繁殖的，假设一种细菌1天分裂一次，也就意味着其每一天的数量都是前一天的两倍。

显然，如果经过x次分裂，通俗地说，也就是翻了x倍，那我们得到的总数将是初始数量的2^x倍。即：

如果将 “翻倍”换一种更“文艺的”说法，也就是 “增长率为100%”，那我们可以将上式写为：

那么，当我们的增长率不是100%，而是50%、25%之类的，我们只需要将100%换成我们想要的增长率即可，这样就得到了更加普遍的公式：

这个公式的数学内涵是：数量以大小为return的增长率增长，在增长x次之后所得到的总数量。

好了，介绍完指数增长，我们来看看雅可比·伯努利的发现：

假设你有1元钱存在银行里，而且发生了严重的通货膨胀，银行的利率飙到了100%（就当银行疯了），银行一般一年付一次利息，自然，一年后你可以拿到1元钱的本金（蓝）和1元的利息（绿），一共两元。

现在银行的年利率不变，但银行为了招揽客户，推出一项惠民政策，每半年就付一次利息。那么到第六个月时，你就能够提前先拿到0.5元。

机智的你会马上把利息提前存入，利息生利息(红)，1年存款余额将等于2.25元。

那么此时，我们可以这样看：即银行每半年的利率是50%（或者说100%/2），但一年结算两次。此时我们的计算公式和结果如下：

好，继续，假设现在银行为了和其他银行抢生意，短期不想赚钱了，彻底疯了！每四个月就付一次利息！而机智的你依然一拿到利息就立马存入，与半年付一次利息类似，只不过现在我们可以这样看：即银行每半年的利率是33.33%（或者说100%/3），但一年结算三次。

此时我们的计算公式和结果如下：

我的天，年利率虽然没有变，但随着每年利息交付次数的增加，你年底能从银行拿到的钱也在增加！那么是不是会一直增大到无穷大呢？想得倒美…

现在假设存款人和银行都疯了，银行在保证年利率为100%的前提下连续不断地付给存款人利息，存款人天天呆在银行不走，拿到利息就往银行里存，感觉耳边响起了：左手右手一个慢动作。

但是，你会发现，似乎有一个“天花板”挡着你疯狂赚钱的目标，这个“天花板”就是e！

如果，我们进行一系列的迭代运算，

只要迭代次数足够多，结果就会逼近e =2.718281845…

然后，放个大招，高等数学微积分里的一个著名的极限：

好了，也就是是说，就算银行的年利率是100%，你再怎么求银行给你“复利”，年底也不可能得到超过本金e倍的余额。

况且，我是没见过哪个银行的年利率是100%，还是洗洗睡吧~

 

 

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Reference：

[1] An Intuitive Guide To Exponential Functions & e

[2] Prehistoric Calculus: Discovering Pi